kalkulus 1

Pendahuluan

Dalam matematika banyak dijumpai operasi balikan atau inversi. Misalnya penambahan dengan pengurangan, perkalian dengan pembagian, pemangkatan dengan penarikan akar, eksponensial dengan logaritma, integral dengan turunan, dan lain-lain. Khusus untuk yang berkaitan dengan bahasan ini, integral yang merupakan balikan dari Turunan atau Derivatif. Turunan dibahas lebih dahulu dari pada integral, bahkan integral juga diberi istilah antiturunan. Dengan demikian, apabila ingin lebih lancar belajar integral maka sebaiknya Anda menguasai terlebih dahulu  materi turunan  atau derivatif.

Pembahasan integral tak tentu (walaupun tidak harus berurutan) didahului dengan pendahuluan,  integral fungsi sederhana, metode substitusi, metode parsial, integral fungsi trigonometri, integral fungsi rasional dan diakhiri dengan  bentuk perasionalan. Setiap materi dilengkapi dengan contoh-contoh secukupnya, termasuk contoh yang dengan sengaja tidak lengkap penyelesaiannya. Setiap soal Latihan dilengkapi jawaban. Namun sangat dianjurkan, bahwa melihat jawaban apabila Anda betul-betul tidak dapat menyelesaikannya).

Setelah mempelajari materi suplemen ini diharapkan Anda secara umum dapat lebih luas menguasai integral tak tentu dan secara khusus dapat : (1) menjelaskan konsep integral tak tentu, (2) menghitung integral fungsi-fungsi sederhana, (3) menghitung integral tak tentu dengan metode substitusi, (4) menghitung integral tak tentu dengan metode parsial, (5) menghitung integral berbagai bentuk fungsi trigonometri, (6) menghitung integral fungsi rasional, dan (7) menghitung integral bentuk ketakrasionalan kuadrat.

Integral Fungsi Sederhana

.

 Definisi : Fungsi F disebut anti turunan (anti derivatif) f  pada interval [a,b], jika di setiap titik  berlaku . 

 Contoh 1.

 Misal  dan , maka :

 anti turunan  karena

 juga anti turunan  karena

 juga anti turunan  karena

 juga anti turunan  karena

::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

 juga anti turunan  karena

(C suatu konstanta)

 Dengan demikian anti turunan tidak tunggal (kalau ada).

 Definisi :  Integral Tak Tentu fungsi f(x) ditulis   dan didefinisikan sebagai

                                   = F(x) + C

               

                dengan   F(x) suatu fungsi yang memenuhi 

                dan C suatu konstanta pengintegralan.

 Fungsi  F(x) yang bersifat   disebut anti turunan  dari f(x).

 Contoh 2.  

     terlihat bhwa 

     terlihat bhwa 

  terlihat bahwa

 Contoh 3.

 Sifat-sifat  Integral tak Tentu

 

, di mana   a  bilangan real.

 Contoh 4.

                                             
                                               

    dengan    C₁ + C₂ = C

                                       

                                       

                             

                                        = ... dst

Metoda Substitusi

dengan cara substitusi  maka integral dapat diubah menjadi :

Contoh  1.     Hitung

Jawab :  misalkan 

Jadi,

  

Atau dengan Cara Lain

Contoh 2.      Hitung 

Jawab : substitusi    

Jadi,

 

                                                                                             

Contoh 3.    Hitung 

Jawab : .................... (substitusi u = sin x)

dst.

Contoh 4.    Hitung 

Jawab :  ................... (substitusi  u = ln x)

Metode Parsial

Misalkan perkalian dua fungsi.

Apabila diturunkan maka diperoleh,

            

kalau dipindah ruas dapat ditulis sebagai,

          

Apabila bentuk yang terakhir ini diintegralkan, maka diperoleh :

(Ini dikenal sebagai metode parsial)

Contoh 1. Hitung  

  Jawab :  dapat ditulis sebagai

sehingga,

Jadi,

    f(x)     g(x) f(x)      g(x)  

Contoh 2.  Hitung 

 Jadi,

 

 

Contoh 3. Hitung 

Jawab :  

                                                   

...................  teruskan sendiri !

����...  jika menyerah !

Contoh 4. Hitung      

Jawab :   

::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

dan seterusnya !

Integral Fungsi Trigonometri

 Beberapa integral fungsi trigonometri berikut :

           

     

     

    

   

 

memiliki karakteristik penyelesaian yang berbeda-beda.

 Integral Fungsi Rasional  

Fungsi rasional adalah fungsi yang dapat dinyatakan sebagai :  ; di mana (f(x) dan  g(x) masing-masing merupakan polinom.

Contoh : 1. h(x) =   ;  dan .

di sini pangkat pembilang 2 lebih kecil dari pangkat penyebut 3 dan disebut pecahan sejati.

Contoh :  2. h(x) =   ;  dan .

di sini pangkat pembilang 4 lebih besar dari pangkat penyebut 3 dan disebut pecahan tak sejati.

Bagaimana menghitung integral fungsi pecahan    tersebut ?

Penyelesaian integral fungsi  pecahan tak sejati agak berbeda sedikit dengan penyelesaian pecahan sejati. Pada fungsi pecahan tak sejati dibuat menjadi pecahan sejati terlebih dahulu yaitu dengan cara membagi pembilang dengan penyebutnya, langkah berikutnya sama seperti pada penyelesaian pecahan sejati.